CÔNG THỨC LEIBNIZ TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO

Bài viết này thosanhuyenthoai.vn giới thiệu đến bạn đọc phương pháp Tính đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm số

*

1. Một số công thức đạo hàm cấp cao của hàm số thường gặp

$\begin{array}{l} y = \sin (ax + b) \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\sin \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\ y = \cos (ax + b) \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\cos \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\ y = \frac{1}{{ax + b}} \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\\ y = {e^{ax + b}} \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}{e^{ax + b}}.\\ y = {(ax + b)^\alpha } \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\alpha (\alpha - 1)...(\alpha - n + 1){(ax + b)^{\alpha - n}} \end{array}$

2. Công thức Lepnit tính đạo hàm cấp cao của hàm số tích

Cho các hàm số $y=u(x),y=v(x)$ có đạo hàm đến cấp $n$ khi đó ${{\left< u(x).v(x) \right>}^{(n)}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-k)}}(x)}.$

3. Các ví dụ minh hoạ

Câu 1. Tính đạo hàm ${{f}^{(50)}}(x)$ với $f(x)=(2{{x}^{2}}+x+1){{e}^{5x+2}}.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{c} {f^{(50)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k{{(2{x^2} + x + 1)}^{(k)}}{{({e^{5x + 2}})}^{(50 - k)}}} .\\ = {5^{50}}(2{x^2} + x + 1){e^{5x + 2}} + 50(4x + 1){5^{49}}{e^{5x + 2}} + {1225.4.5^{48}}{e^{5x + 2}}. \end{array}$

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}.$ Tính ${{f}^{(100)}}(0).$

Giải. Ta có

$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }} = \dfrac{{2 - (1 - x)}}{{\sqrt {1 - x} }} = 2{(1 - x)^{ - \dfrac{1}{2}}} - {(1 - x)^{\dfrac{1}{2}}}.\\ {f^{(100)}}(x) = 2\left< {{{( - 1)}^{100}}\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)\left( { - \dfrac{1}{2} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{2} - 99} \right){{(1 - x)}^{ - \dfrac{1}{2} - 100}}} \right>\\ - \left< {{{( - 1)}^{100}}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\left( {\dfrac{1}{2} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{2} - 99} \right){{(1 - x)}^{\dfrac{1}{2} - 100}}} \right>\\ = \dfrac{{3.5...199}}{{{2^{99}}}}{(1 - x)^{ - \dfrac{{201}}{2}}} + \dfrac{{3.5....197}}{{{2^{100}}}}{(1 - x)^{\dfrac{{197}}{2}}}. \end{array}$

Do đó ${{f}^{(100)}}(0)=\dfrac{3.5...197}{{{2}^{100}}}(199.2+1)=399\dfrac{(197)!!}{{{2}^{100}}},$ trong đó $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$

Câu 3. Tính ${{f}^{(100)}}(x)$ biết $f(x)={{x}^{2}}\cos x.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{c} {f^{(100)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{({x^2})}^{(k)}}{{(\cos x)}^{(100 - k)}}} \\ = {x^2}\cos \left( {x + \frac{{100\pi }}{2}} \right) + 100.2x.\cos \left( {x + \frac{{99\pi }}{2}} \right) + 4950.2.\cos \left( {x + \frac{{98\pi }}{2}} \right)\\ = {x^2}\cos x + 200x\sin x - 9900\cos x. \end{array}$

Câu 4.

Bạn đang xem: Công thức leibniz tính đạo hàm cấp cao

Tính đạo hàm cấp cao ${{y}^{(5)}}(x)$ của hàm số $y=\ln (2{{x}^{2}}-x).$

Giải. Ta có: ${y}"=\dfrac{4x-1}{2{{x}^{2}}-x}=\dfrac{4x-1}{x(2x-1)}=\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{4}{2x-1}-\left( \dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{x}.$

Vậy ${{y}^{(5)}}(x)={{\left( \dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{x} \right)}^{(4)}}=2\dfrac{{{2}^{4}}{{(-1)}^{4}}4!}{{{(2x-1)}^{5}}}+\dfrac{{{(-1)}^{4}}4!}{{{x}^{5}}}=24\left( \dfrac{32}{{{(2x-1)}^{5}}}+\dfrac{1}{{{x}^{5}}} \right).$

Câu 5. Tính đạo hàm cấp cao ${{f}^{(100)}}(0)$ của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}-x+1}.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} = \frac{1}{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 i}}\left( {\frac{1}{{x - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}} - \frac{1}{{x - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}} \right).\\ {f^{(100)}}(x) = \frac{1}{{\sqrt 3 i}}\left( {\frac{{{{( - 1)}^{100}}100!}}{{{{\left( {x - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}} - \frac{{{{( - 1)}^{100}}100!}}{{{{\left( {x - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}}} \right)\\ {f^{(100)}}(0) = \frac{{100!}}{{\sqrt 3 i}}\left( {\frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}} - \frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}}} \right) = \frac{{100!}}{{\sqrt 3 i}}( - \sqrt 3 i) = - 100! \end{array}$

Bước cuối bạn đọc thay dạng lượng giác số phức vào để rút gọn.

Xem thêm: Lời Bài Hát Người Tình Mùa Đông Như Quỳnh, Lời Bài Hát Nguoi Tinh Mua Dong

Cách 2:Ta có $({{x}^{2}}-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp n hai vế có:

$\begin{array}{l} ({x^2} - x + 1){y^{(n)}}(x) + n(2x - 1){y^{(n - 1)}}(x) + n(n - 1){y^{(n - 2)}}(x) = 0\\ {y^{(n)}}(0) - n{y^{(n - 1)}}(0) + n(n - 1){y^{(n - 2)}}(0) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} - \frac{{{y^{(n - 1)}}(0)}}{{(n - 1)!}} + \frac{{{y^{(n - 2)}}(0)}}{{(n - 2)!}} = 0\\ {u_n} = \frac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} \Rightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} = 0.... \end{array}$

Câu 6. Tính đạo hàm cấp cao ${{y}^{(99)}}(0)$ của hàm số $y=\arcsin x.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{l} y" = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \Rightarrow (1 - {x^2})y" = \sqrt {1 - {x^2}} \\ \Rightarrow - 2xy" + (1 - {x^2})y"" = - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = - xy"\\ \Leftrightarrow (1 - {x^2})y"" - xy" = 0. \end{array}$

Do đó ${{\left( (1-{{x}^{2}}){y}""-x{y}" \right)}^{(n)}}=0$ và

$\begin{array}{l} (1 - {x^2}){y^{(n + 2)}}(x) - n.2x.{y^{(n + 1)}}(x) - n(n - 1){y^{(n)}}(x) - x{y^{(n + 1)}}(x) - n{y^{(n)}}(x) = 0.\\ \Rightarrow {y^{(n + 2)}}(0) = {n^2}{y^{(n)}}(0) \Rightarrow {y^{(99)}}(0) = {97^2}{y^{(97)}}(0) = ... = {(97.95...3.1)^2}y"(0) = {(97!!)^2}. \end{array}$

Hiện tại thosanhuyenthoai.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...